Bốn phương pháp của tổng Riemann là những pháp cơ bản nhất. Đoạn [a, b] được chia thành n khoảng con, có độ dài

Δ x = b − a n . {\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}

Điểm trong khoảng chia này sẽ là

a , a + Δ x , a + 2 Δ x , … , a + ( n − 2 ) Δ x , a + ( n − 1 ) Δ x , b . {\displaystyle a,a+\Delta x,a+2\,\Delta x,\ldots ,a+(n-2)\,\Delta x,a+(n-1)\,\Delta x,b.}

Tổng Riemann trái

Tổng Riemann trái của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Với tổng Riemann trái, phép tính gần đúng hàm số bằng cách sử dụng giá trị của nó tại điểm trái cùng cho nhiều hình chữ nhật với chiều dài Δx và chiều cao f(a + iΔx). Làm điều này đối với i = 0, 1,..., n − 1, và cộng vào diện tích thu được cho

Δ x [ f ( a ) + f ( a + Δ x ) + f ( a + 2 Δ x ) + ⋯ + f ( b − Δ x ) ] . {\displaystyle \Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b-\Delta x)\right].}

Tổng Riemann trái lên cao hơn giá trị nếu f có sự nghịch biến trên đoạn này, và thấp hơn giá trị nếu có sự đồng biến.

Tổng Riemann phải

Tổng Riemann phải của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

f ở đây được tính gần đúng bởi giá trị của điểm cuối bên phải. Cho nhiều hình chữ nhật với chiều dài Δx và độ cao f(a + i Δx). Làm điều này đối với i = 1,..., n, và cộng vào diện tích thu được cho

Δ x [ f ( a + Δ x ) + f ( a + 2 Δ x ) + ⋯ + f ( b ) ] . {\displaystyle \Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}

Tổng Riemann phải này là thấp hơn nếu f nghịch biến, và cao hơn nếu nó đồng biến.Sai số của công thức này sẽ là

| ∫ a b f ( x ) d x − A r i g h t | ≤ M 1 ( b − a ) 2 2 n {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}} ,

với M 1 {\displaystyle M_{1}} là giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của f ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime }(x)} trên đoạn này.

Quy tắc điểm giữa

Tổng Riemann giữa của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Phép tính gần đúng f tại điểm giữa của đoạn cho f(a + Δx/2) của khoảng thứ nhất, kế tiếp là f(a + 3Δx/2), và tiếp tục cho đến f(b − Δx/2). Tổng diện tích thu được cho

Δ x [ f ( a + Δ x 2 ) + f ( a + 3 Δ x 2 ) + ⋯ + f ( b − Δ x 2 ) ] {\displaystyle \Delta x\left[f(a+{\tfrac {\Delta x}{2}})+f(a+{\tfrac {3\,\Delta x}{2}})+\cdots +f(b-{\tfrac {\Delta x}{2}})\right]} .

Sai số của công thức này sẽ là

| ∫ a b f ( x ) d x − A m i d | ≤ M 2 ( b − a ) 3 24 n 2 {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}} ,

với M 2 {\displaystyle M_{2}} là giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của f ′ ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)} trên đoạn này.

Quy tắc hình thang

Tổng Riemann hình thang của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Trong trường hợp này, giá trị của hàm f trên đoạn này được tính gần đúng bởi trung bình giá trị của điểm cuối trái và phải. Tương tự như những phương pháp trên, tính toán diện tích thu được

A = 1 2 h ( b 1 + b 2 ) {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}

cho một hình thang với hai cạnh song song b1, b2 và chiều cao h cho

1 2 Δ x [ f ( a ) + 2 f ( a + Δ x ) + 2 f ( a + 2 Δ x ) + 2 f ( a + 3 Δ x ) + ⋯ + f ( b ) ] . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\,\Delta x)+2f(a+3\,\Delta x)+\cdots +f(b)\right].}

Sai số của công thức này sẽ là

| ∫ a b f ( x ) d x − A t r a p | ≤ M 2 ( b − a ) 3 12 n 2 , {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}

với M 2 {\displaystyle M_{2}} là giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của f ′ ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)} .

Phép tính gần đúng thu được với quy tắc hình thang cho một hàm số là giống với trung bình của tổng phía bên trái và phải của hàm số đó.